微积分基本定理

微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。

1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。

微积分四大基本定理是什么?

微积分的基本公式共有四大公式：

1、牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式。

2、格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分。

3、高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分。

4、斯托克斯公式，与旋度有关。

积分基本公式

1、∫0dx=c

2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c

3、∫1/xdx=ln|x|+c

4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5、∫e^xdx=e^x+c

6、∫sinxdx=-cosx+c

7、∫cosxdx=sinx+c

8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

微积分基本定理

微积分基本定理的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。

微积分基本定理的定义

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibnizformula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。

什么是微积分基本定理

微积分基本定理，一般指的是，定积分计算的牛顿－莱布尼兹公式，

由该公式可知，计算定积分，只要计算出被积函数的原函数，代入区间端点值相减，即可得出定积分值。而原函数的计算，与微分导数密切相关，所以称该公式为微积分基本定理

什么是微积分基本定理？

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。

首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。

证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到

Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt

= Φ(x) + ∫f(t)dt

即

Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt

应用积分中值定理，可以得到

Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx

其中m0，即

lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）

因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为

Φ'(x) = f(x)

证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|