双曲线的定义是什么
定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线,还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。
(其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线;作为日后的阴影的路径;作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状,例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道,或更一般地,超过最近行星的逃逸速度的任何航天器;作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径;作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用,但原理是相同的);在无线电导航中,当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时,等等。双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。
对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下,渐近线是两个坐标轴。
双曲线共享许多椭圆的分析属性,如偏心度,焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线,例如双曲抛物面(鞍形表面),双曲面(“垃圾桶”),双曲线几何(Lobachevsky的着名的非欧几里德几何),双曲线函数(sinh,cosh,tanh等)和陀螺仪矢量空间(提出用于相对论和量子力学的几何,不是欧几里得)。双曲线的通径是过焦点,垂直于实轴的弦,通径有两条,长为2b²/a。
椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,所以得到y=±b²/a,而通径是正负的两段长度加起来,所以是2b²/a。椭圆、双曲线的通径长均为|AB|=2b^2/a(其中a是长轴或实轴的1/2,b是短轴或虚轴的1/2,不论椭圆或双曲线的焦点在x轴还是y轴都有这个结论)抛物线的通径长为|AB|=4p(其中p为抛物线焦准距的1/2)过焦点的弦中,通径是最短的这个结论只对椭圆和抛物线适用,对双曲线须另外讨论如果双曲线的离心率e>根号2,则过焦点的弦以实轴为最短,即最短的焦点弦为2a如果双曲线的离心率e=根号2,则通径与实轴等长,它们都是最短的焦点弦,如果双曲线的离心率0a>0时,|MN|=2ab^2(k^2+1)/[(bk)^2+a^2]。
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