什麼是訊號抽樣
在某些選定的時刻抽取連續時間訊號在各該時刻的值。數字計算機所處理的訊號必須是離散時間訊號。在涉及連續時間訊號時,就必須先以適當的頻度從中抽取其在各時刻的數值,形成相應的離散時間訊號,然後進行處理。
連續時間訊號的抽樣
抽樣的示意如圖1所示。
圖中X(t)為被抽樣的連續時間訊號,XS(t)是抽樣後的訊號,S是一個開關。當S閉合時,XS(t)就等於X(t)在該瞬刻的值;S斷開時,XS(t)等於零。S每隔時間T 閉合一次,每次閉合的時間τ很短,可以認為τ接近於零。T為抽樣的時間間隔。如果相鄰的抽樣時間間隔相等,即T 為常數,那就是均勻抽樣。1/T 稱為抽樣頻率,以fS表示,fS=1/T;或用ΩS表示,ΩS=2π/T。均勻抽樣是一種廣泛使用的抽樣形式。它可表示為
式中X(nT)為t=nT時X(t)的值。均勻抽樣還可以是用連續時間函式X(t)對一衝激序列進行的脈衝幅度調製。設衝激序列P(t)為一串單位衝激,而相鄰衝激的時間間隔為T,則
於是
抽樣訊號 XS(t)是用X(t)與單位衝激序列P(t)相乘的結果。
抽樣保持
由於連續時間訊號的抽樣值經過量化、編碼而變換成數字量需要一定的時間,所以訊號抽樣後要保持一段時間。抽樣與保持常常結合在一起,稱為訊號的抽樣與保持。抽樣和保持的具體方法如圖2所示。
圖中A1、A2是兩個接成電壓跟隨器的運算放大器,當控制脈衝為高電平時,電子開關導通,電容C被迅速充電,其電壓等於該時刻的訊號電壓X(t);隨即經過很短的時間τ後,電子開關受V 的低電平控制而斷開,此時電容電壓保持不變。經過時間TS後再重複上述過程。抽樣保持器的輸出電壓X▂(t)為臺階形狀。
抽樣定理
一訊號在時域中用一時間函式X(t)表示,在頻域中用其頻率函式X(jΩ)表示。X(t)與X(jΩ)為一個傅立葉變換對。C.E.夏農等人在1948年提出的抽樣定理說明了X(t)的抽樣序列X(nT)與X(t)的關係。定理揭示:設X(t)是一頻頻寬度有限的訊號,即當|Ω|>Ωm時X(jΩ)=0,則由以大於2Ωm的抽樣率ΩS(等於2π/T)進行抽樣所得的抽樣序列X(nT)可以完全確定X(t)。fS=2Ωm的抽樣頻率也稱為奈奎斯特頻率。
抽樣定理的意義在於它確定了抽樣率必須高於2Ωm才能從抽樣序列恢復原來的連續訊號。由抽樣訊號的傅立葉變換知道,抽樣訊號的傅立葉變換在頻域中是以ΩS為週期的連續周期函式。當抽樣間隔增大,ΩS降低到不滿足大於2Ωm的條件時,則抽樣訊號XS(t)的傅立葉變換的幅度頻譜|X(ejw)|成為圖3中粗黑線所示的形狀。
這時|X(ejw)|的頻譜已不再與|X(jΩ)|的頻譜相似。這時(ΩS-Ωm)<Ωm,以 Ω=0為中心的X(jΩ)與以Ω=ΩS為中心的|X(jΩ-jΩS)|有一部分混疊在一起,這種現象稱為混疊現象。
把頻域中的連續頻率函式X(jΩ)在頻域中抽樣得到的離散頻譜序列XS(jΩ)稱為頻域取樣。
對時限訊號X(t)的傅立葉變換X(jΩ)以抽樣間隔∮在頻域中進行抽樣,如選擇抽樣間隔∮,使,Tm為X(t)的時限,得到的頻域抽樣訊號XS(j∮)能完全代表X(j∮),由它能夠恢復X(jΩ)或X(t)。
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