雙曲線離心率公式
雙曲線離心率公式的答案是:e=c/a
雙曲線離心率公式:e=c/a 面內,到給定一點及一直線的距離之比為常數e((e>1),即為雙曲線的離心率)的點的軌跡稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點,定直線叫雙曲線的準線。雙曲線準線的方程為(焦點在x軸上)或(焦點在y軸上)。
可以從圖像中看出,雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時,為左軸與右軸;當焦點在y軸上時,為上軸與下軸。
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點,定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點。焦點的橫(縱)座標滿足c=a+b。
在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
雙曲線的通徑是過焦點,垂直於實軸的弦,通徑有兩條,長為2b²/a。橢圓方程為
x²/a²+y²/b²=1,所以得到y=±b²/a,而通徑是正負的兩段長度加起來,所以是2b²/a。
橢圓、雙曲線的通徑長均為|AB|=2b^2/a
(其中a是長軸或實軸的1/2,b是短軸或虛軸的1/2,不論橢圓或雙曲線的焦點在x軸還是y軸都有這個結論)
拋物線的通徑長為|AB|=4p
(其中p為拋物線焦準距的1/2)
過焦點的弦中,通徑是最短的
這個結論只對橢圓和拋物線適用,對雙曲線須另外討論
如果雙曲線的離心率e>根號2,則過焦點的弦以實軸為最短,即最短的焦點弦為2a
如果雙曲線的離心率e=根號2,則通徑與實軸等長,它們都是最短的焦點弦,如果雙曲線的離心率0a>0時,
|MN|=2ab^2(k^2+1)/[(bk)^2+a^2]。
橢圓通徑長定理,指的是橢圓的通徑AB就是過焦點垂直於長軸的直線與橢圓相交所得的線段AB。可以由勾股定理推導。橢圓中的通徑是通過焦點最短的弦。
例如:有一個圓柱,被截得到一個截面,下面證明它是一個橢圓(用第一定義):
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓,它們碰到截面的時候停止,
那麼會得到兩個公共點,顯然他們是截面與球的切點。
設兩點為F1、F2
對於截面上任意一點P,過P做圓柱的母線Q1、Q2,與球、圓柱相切的大圓分別交於Q1、Q2則PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2
由定義1知:截面是一個橢圓,且以F1、F2為焦點
用同樣的方法,也可以證明圓錐的斜截面(不通過底面)為一個橢圓。
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