数列有界一定收敛吗
有界数列不一定收敛。例如,已知数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的。
换句话说,有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
又例如数列{b(n)},b(n)=(-1)^n,|b(n)|u003c=1{b(n)}有界,b(n)为摆动数列,但是不收敛。数列中的每一项均不超过一个固定的区间,其中分上界和下界。假设存在定值a,任意n有{An(n为下角标)=B,称数列{An}有下界B,如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内,数列有界。数列{Xn}满足:对一切n有Xn≤M(其中M是与n无关的常数)称数列{Xn}上有界(有上界)并称M是他的一个上界。
对一切n有Xn≥m(其中m是与n无关的常数)称数列{Xn}下有界(有下界)并称m是他的一个下界。一个数列{Xn},若既有上界又有下界,则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是:存在正实数X,使得数列的所有项都满足|Xn|≤X,n=1,2,3,……。
数列收敛必有界,但数列有界不一定收敛。即,数列有界是数列收敛的必要不充分条件。发散数列有可能是有界数列,有界数列也可能是发散数列。
如:1,-1,1,-1,……为发散数列,同时也是有界数列。无穷小数列一定是收敛数列和有界数列;无穷大数列一定是发散数列和无界数列,并且一定不是收敛数列。收敛数列的所有子列都收敛,并且这些子列和这个数列本身有相同的极限值。
在实数范围内,如果一个数列单调有界,则这个数列一定是收敛数列。增、减或改变一个收敛数列的有限项,不影响这个数列的收敛性和极限值。有限个无穷小数列与有界数列的乘积必收敛,并且极限值为0。两个收敛数列的和、差、积仍为收敛数列;两个发散数列的和、差、积既可能是发散数列,也可能是收敛数列。
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