基数是什么意思?
一、二、三、…十、…百、…千、…万等普通整数;作为计算标准或起点的数目。
基数(cardinal number)在数学上,是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应,是两个对等的集合。
称两个集M与N为有相同基数,即|M|=|N|,若存在双射φ:M→N。且|M|≤|N|,若存在单射φ:M→N。
根据对等这种关系对集合进行分类,凡是互相对等的集合就划入同一类。这样,每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数,记作|A|(或cardA)。这样,当A 与B同属一个类时,A与B 就有相同的基数,即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时,它们的基数也不同。
如果把单元素集的基数记作1,两个元素的集合的基数记作2,等等,则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是,对于无穷集,传统概念没有个数,而按基数概念,无穷集也有基数,例如,任一可数集(也称可列集)与自然数集N有相同的基数,即所有可数集是等基数集。不但如此,还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。
基数可以比较大小。假设A,B的基数分别是a,β,即|A|=a,|B|=β,如果A与B的某个子集对等,就称 A 的基数不大于B的基数,记作a≤β,或β≥a。如果 a≤ β,但a≠β( 即A与B不对等 ),就称A的基数小于B的基数,记作a<β,或β>a。在承认选择公理的情况下,可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小,即不存在集合A和B,使得A不能与B的任何子集对等,B也不能与A的任何子集对等。
基数可以进行运算 。设|A|=a ,|B|=β,定义 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另,a与β的积规定为|AxB|,A×B为A与B的笛卡儿积。
对每一个基数,存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是 ,康托尔称下一个是 ,相类似的,还定义了如下一个序列:
注意 。连续统假设猜想,就是 。
连续统假设是与一般集论公理(即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理)独立的。
更一般的假设,即 。
广义连续统假设,就是对所有无穷基数 ,都不存在界乎 与 之间的基数。
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