什么是傅里叶级数
一种特殊的三角级数。形如
(1)
的级数,其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数,称为三角级数。特别,当(1)中的系数αn,bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时,级数(1)称为ƒ的傅里叶级数:
(2)
式中ƒ是周期2π的可积函数,即ƒ∈l1(-π,π)。此时,由公式(2)得到的系数αn,bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为
。 (3)
当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛;即使收敛,也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x),即,那么双方都乘以cosnx或sinnx后,在(-π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x),级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。
问题往往是,给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是,利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ[ƒ]收敛于ƒ。
傅里叶级数的收敛判别法
常用的判别法有:
(1)迪尼判别法 对固定的点x,如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π,π]上勒贝格可积,则σ[ƒ]在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即(0<u≤h),那么σ[ƒ]在x收敛于ƒ(x),其中M ,h,α均为正数,且α≤1。另外,当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ[ƒ]一致收敛于ƒ(x)。
(2)狄利克雷-若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如[x-h,x+h]上分段单调,则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。
上面提到的收敛判别法,对函数所提的要求,都是充分条件,并非必要的。关于收敛性判别法,还有几种。值得注意的是,至今还没有收敛的充分且必要的条件。
傅里叶级数的复数形式
三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,/2,(叿n表示сn的共轭复数),那么级数(1)可写成复数形式
, (4)
这里,(4)的部分和Sn理解为。假如(1)是ƒ的傅里叶级数,那么它的复数形式也是(4),但系数
。 (5)
上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数,又称ƒ的傅里叶系数的复形式。
傅里叶系数的重要性质
列举下面两条:
(1)若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn(或сn),当n→∞时趋于0,称为黎曼-勒贝格定理。
(2)若ƒ(x∈l2(-π,π),则有
。
这个等式称为帕舍伐尔等式;反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l2(-π,π),它的傅里叶系数等于{сk}(k=0,±1,±2,…)。这个逆命题称为里斯-费希尔定理。
三角级数与单位圆内解析函数的关系
设z=eix(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点,于是级数
(6)
的实部就是三角级数(1),虚部
(7)
称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=reix(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=reix的幂级数,当它收敛时,其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。
多元三角级数与多元傅里叶级数
设为m 维欧氏空间Rm的点,级数
(8)
称为m元三角级数,其中,而n1,n2,…,nm为整数。假如ƒ(x)=ƒ(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数,且在立方体
Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m) (9)
上,ƒ是勒贝格可积的。类似于(5),如果(8)中系数
那么称(8)为ƒ的傅里叶级数,并记为
多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质,但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题,却远较一元复杂。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。
参考书目A. Zygmund,Trigonometric Series,Vol. 1~2, Cambridge s,Cambridge,1959.
-
择地而蹈是什么意思?
意思是:选择地方行走。形容做事小心谨慎。成语名字:择地而蹈成语发音:zédìérdǎo成语解释:选择地方行走。形容做事小心谨慎。成语出处:《史记·伯夷列传》:“或择地而蹈之,时然后出言,行不由径,非公正不发愤。”成语繁体:擇地而蹈感情色彩:中性成语成语用法:作谓语、定...
-
一掷百万是什么意思?
意思是:指用钱满不在乎,一花就是一大笔。成语名字:一掷百万成语发音:yīzhìbǎiwàn成语解释:指用钱满不在乎,一花就是一大笔。成语出处:《晋书·何无忌传》:“刘毅家无儋石之储,樗蒱一掷百万。”成语繁体:一擲百萬常用程度:常用成语感情色彩:中性成语成语用法:作谓语、定...
-
透骨酸心是什么意思?
意思是:形容极度伤心。成语名字:透骨酸心成语发音:tòugǔsuānxīn成语解释:形容极度伤心。成语出处:《儿女英雄传》第五回:“她自己心中,以有一腔的弥天恨事,透骨酸心。感情色彩:中性成语成语用法:作谓语、定语;指十分伤心成语结构:偏正式成语产生年代:近代成语老妈离世的...
-
遗迹谈虚是什么意思?
意思是:谓舍弃根据而空谈玄虚。成语名字:遗迹谈虚成语发音:yíjìtánxū成语解释:谓舍弃根据而空谈玄虚。成语出处:宋·程大昌《〈演繁露〉序》:“然有退之(韩愈)之学则可,无退之之学而遗迹谈虚,恐援据所及,金根金银或相贸易,并可赧矣。”成语繁体:遺跡談虚感情色彩:中性成...