空集是任何集合的真子集，這句話對嗎

   空集是比較煩人的東西，按照定義，空集就是沒有元素的集合，卻到處都有他的影子。自己啥都沒有，還無處不在，夠煩人的。集合論裡有一個早就熟知的論斷：空集是任何集合的子集。

1、今天就來挖掘這句話裡麵包含的含義。

2、說明一點，個人相對於”命題“一詞而言，更傾心於”論斷“一詞。

3、這裡的”論斷“一詞就是中學數學裡的”命題“一詞。

4、            我當初理解這個論斷，是藉助於集合運算的一個性質：      A∩∅=∅………………………………①      因為在B不是空集的時候，若A∩B=B，則B是A的子集，所以以此類推空集是任何集合的子集，而要證明①式，只需要利用交集的定義即可，由此就變得順其自然。

5、不過若我們考慮子集的定義，發現這裡面還是有東西可挖的。

6、      B是A的子集，當且僅當若x∈B，則x∈A。

7、(順便說說，沒辦法在網頁上直接輸入包含符號真的很麻煩)      現在我們用來審視”空集是任何集合的子集”這句話：      ∅是A的子集↔若x∈∅，則x∈A。

8、      要讓左邊成立，必須讓右邊是個真論斷，那麼右邊是對還是錯？有些人說這對，有的人說是錯。

9、我們要看到，右邊是一個“若p則q”形式的論斷，而這裡的p是一個假論斷，也就是其條件本身就是假的，自然我們就無法斷定q的真假，不過我們可以根據逆否論斷的觀點來看這個問題：        若x∈∅，則x∈A↔若x∉A，則x∉∅      我們知道，右邊論斷的真假性與左邊論斷的真假性是一致的。

10、而右邊正確不？顯然，不管是在什麼情況下，x∉∅總是成立的，由此斷定論斷“若x∉A，則x∉∅”是一個真論斷，那麼“若x∈∅，則x∈A”也是一個真論斷，從而“∅是A的子集”也是一個真論斷。

11、      就像上面的例子一樣，考慮論斷r：“若p則q”，如果假設p本身就是假，則論斷r一定為真。

12、當假設在任何情況下也不成立，這樣的論斷我們就稱之為”虛真論斷“。

13、我們可以用逆否論斷的觀點來證明：      若p則q↔若非q則非p。

14、      由於p為假，所以非p一定為真，也就是為真，由逆否論斷與原論斷真假性一致的性質，得出論斷”若p則q，其中p為假“為真論斷。

15、      所以，我們的”空集是任何集合的子集“這句話，其實就是”虛真論斷“的一個案例。

16、      由虛真論斷的觀點，可以得到更加有趣的東西。

17、我們知道，兩個空集的交集與並集是空集，那麼你是否想過這個問題？現在考慮一個比空集還要空的問題：兩個根本就不存在的集合的交集與並集是什麼呢？說起來還有點繞口，這就是我們數學上的”集族“概念，不要覺得這個多高深，所謂集族，就是當一個集合的元素也是集合的時候，這個集合就稱之為集族，明天我們就介紹這個很有意思的問題。