什麼是不可解度
從比較計算難易程度出發來研究自然數子集分類的遞迴論分支。在某種標準下計算難度相同的集合形成這種標準下的一個度。遞迴論中研究得比較多的兩種度是m度與圖靈度。
設A與B是兩個非負整數的子集,假若存在遞迴函式ƒ使得
則稱A可m歸約於B(見圖1
)並記為
。
如果A可m歸約於B,就把判定x是否屬於A的問題化歸為判定ƒ(x)是否屬於B的問題,因為ƒ是可計算函式,所以關於A的判定計算問題不難於B,而且若B是可計算的則A也是可計算的。如果且,則稱A與B是m等價的並記為,類被稱為A的m度。假若B是遞迴可列舉集且任何遞迴可列舉集A都可m歸約於B,則稱B是m完備的。關於圖靈機停機問題的集合就是一個m完備集。
設B的補集為峫,要判定元素x在不在峫中,只要判定x在不在B中就可以了,因此直觀上峫應該可歸約於B。但是上面給出的m歸約辦不到這一點。例如,噖 不可m 歸約於K。因此需要有新的更一般的歸約標準,圖靈歸約(見圖2
)是其中最重要的一個。
稱“A圖靈歸約於B”(或“A遞歸於B”,或“A相對於B可計算”)是指:有一個演算法 T,當輸入非負整數x時,依據該演算法進行的計算過程中,可以隨時向外息源詢問“y是否屬於B”這樣的問題,並根據外息源的回答來決定下一步計算怎樣進行,直到給出x是否屬於A時為止。
用“”表示"A圖靈歸約於B",用“”表示 “且”。記並稱其為 A的圖靈度。若則記作deg(A)≤deg(B)。若deg(A)≤deg(B)但則記作deg(A)
一切遞迴集形成一個度,用Ο表示遞迴集的度。因為任何集 B與遞迴集A有關係,所以對任何度a都有Ο≤a,即Ο是最小的度。用Ο┡表示完備集K的度,顯然任何完備集都在度Ο┡中。因為K不是遞迴集,故有Ο<Ο┡。用[Ο,Ο┡]表示度類{a:Ο≤a≤Ο┡}。
一個度中若有一個遞迴可列舉集,則稱這個度為遞迴可列舉度。因為Ο┡是完備集的度,所以對任何遞迴可列舉度a都有Ο≤a≤Ο┡。是否有遞迴可列舉度a使Ο<a<Ο┡呢?這個問題是遞迴論中有名的波斯特問題。1956~1957年,A.A.穆切尼克與R.M.弗裡德貝格創造了有窮損害方法證明了在[Ο,Ο┡]中有兩個互不可比的遞迴可列舉度,從而肯定地解決了波斯特問題。
稱集合為集合A的躍變,把A的躍變記為A┡。 度a=deg(A)的躍變度記為 a┡=deg(A┡)。度Ο的躍變度是Ο┡。對於任何遞迴可列舉度a,它的躍變度a┡滿足Ο┡≤a┡≤Ο″,若有Ο┡=a┡則稱遞迴可列舉度 a為低度,若有Ο″=a┡則稱a為高度。
存在度α使Ο<α<Ο┡且對任何度
b
若b
≠Ο則b
≮α,這樣的度a叫極小度。不存在非Ο的遞迴可列舉度是極小度。[Ο,Ο┡]的基數與實數區間[0,1]的基數相同,[Ο,Ο┡]也存在類似的稠密性質。[Ο,Ο┡]是上半格但不是格,每一個可數分配格都可嵌入 [Ο,Ο┡]中。存在一對非Ο的遞迴可列舉度,它們的最大下界是Ο;不存在一對非Ο的遞迴可列舉度,它們的最大下界是Ο而最小上界則是Ο┡。研究在[Ο,Ο┡]上的偏序性質特別是代數結構性質是不可解度理論的重要內容。
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