什麼是解析幾何學

數學中最基本的學科之一，也是科學技術中最基本的數學工具。它的產生和發展，曾在數學的發展過程中起着重要的作用。很早以前，古希臘數學家對圓錐曲線曾作過較系統的研究，僅從內容來看，可説是解析幾何的萌芽。17世紀初，生產的發展和科學技術的進步，給數學不斷提出新的問題，要求數學從運動變化的觀點加以研究和解決，例如在變速運動中，如何解決速度、路程和時間的變化問題，以及拋射體的運動規律等等。只用初等數學的方法，是無能為力的，因此要求突破研究常量數學的範圍和方法，而提供用以描述和研究物體運動變化過程所需的新的數學工具變量數學。法國數學家R.笛卡兒和費馬首先認識到新的數學學科解析幾何學產生的必要和可能。其中笛卡兒是解析幾何的主要創建者。他認為數學絕不單是為了鍛鍊人們的思考能力，主要是為了説明自然現象，因此必須給説明靜止狀態的數學以新的解釋。他於1637年發表了一篇著作《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》，在此書的附錄《幾何學》中，較全面地敍述瞭解析幾何的基本思想和觀點，並創造了一種方法，即引進座標，首先建立了點與數組的一一對應關係。進而將曲線看作是動點的軌跡，應用變量所適合的方程來表示。費馬也提出：凡含有兩個未知數的方程，總能確定一個軌跡。並根據方程，描繪出曲線。綜上所述，不難看出，解析幾何的基本內涵和方法，是通過座標的建立，將幾何的基本元素點和代數的基本研究對象數對應起來，然後在這個基礎上，建立起曲線或曲面與方程的對應。如已知動點的某種運動規律，即可建立動點的軌跡方程；有了變量所適合的某個方程，就可作出它表示的幾何圖像，並根據方程討論一些幾何性質。這樣就將幾何與代數緊密結合起來，利用代數方法來解決幾何問題。而且這種方法已成為研究和解決某些運動變化問題的有力工具。由於變量數學的引進，大大地推動了微積分學的發展，使整個數學學科有了重大進步，因此解析幾何的產生，可説是數學發展史上的一次飛躍。另外，著名物理學家、數學家I.牛頓、L.歐拉、J.-L.拉格朗日等人，對解析幾何的發展，也曾作出重要貢獻。從解析幾何的產生到現在，經過了一段很長的發展歷程。現在一般所講的還是屬於經典解析幾何的範疇，所用的方法除上面講到的座標法外，兼引入了向量法，通過向量的運算來討論曲線和曲面的一些幾何性質，這對某些問題的討論帶來很大方便，但因研究方法的限制，所研究的內容還是有較大的侷限性。一般僅限於二維空間的曲線，系統研究的為二次曲線以及三維空間裏的曲線與曲面，系統研究的為二次曲面以及錐面、柱面和旋轉曲面，曲線多作為兩曲面的交線。對這些曲線和曲面的研究也多限於一些較簡單的性質。而現代解析幾何的研究方法是多樣的，研究內容也非常廣泛；作為經典解析幾何推廣的數學分支代數幾何，已成為利用抽象代數的方法，對代數簇進行研究的一門學科。

孫澤瀛著:《解析幾何》，高等教育出版社，北京，1958。