什麼是空集
空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是無;它是內部沒有元素的集合。
可以將集合想象成一個裝有元素的袋子,而空集的袋子是空的,但袋子本身確實是存在的。
性質
對任意集合 A,空集是 A 的子集:∀A:Ø ⊆ A;
對任意集合 A,空集和 A 的並集為 A:∀A:A ∪ Ø = A;
對任意非空集合 A,空集是 A的真子集:∀A,,,若A≠Ø,則Ø 真包含於 A。
對任意集合 A,空集和 A 的交集為空集:∀A,A ∩ Ø = Ø;
對任意集合 A,空集和 A 的笛卡爾積為空集:∀A,A × Ø = Ø;
空集的唯一子集是空集本身:∀A,若 A ⊆ Ø ⊆ A,則 A= Ø;∀A,若A= Ø,則A ⊆ Ø ⊆ A。
空集的元素個數(即它的勢)為零;
特別的,空集是有限的:| Ø | = 0;
對於全集,空集的補集為全集:CUØ=U。
集合論中,若兩個集合有相同的元素,則它們相等。那麼,所有的空集都是相等的,即空集是唯一的。
考慮到空集是實數線(或任意拓撲空間)的子集,空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集,是它的子集,因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集,是它的子集,因此空集是開集。另外,因為所有的有限集合是緊緻的,所以空集是緊緻集合,。
空集的閉包是空集。
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