圆的面积公式
圆的面积公式S=πr²,这个面积公式是如何推导出来的呢?很多孩子都会想到:把圆平均分成若干份,拼成的图形近似于长方形,进一步推导出圆的面积公式。难道只能把圆转化成长方形吗?还有其他推导方法吗?带着这些问题,我们继续探究,多维度进行了论证,并用不同的方法证明了结论。
古时候人们遇到一个羊吃草的问题:把一只羊用麻绳拴在木桩上,这只羊最多能吃到多大范围的草?要求“羊最多能吃到多大范围的草?” 就是求圆的面积。那么,圆的面积计算公式如何推导呢?这就是我们今天数学实验的内容。
前面我们已经学会如何推导长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。前两种图形是用密铺度量的方式,后三种图形都是通过转化的思想推导出来的,这五类图形有一个共同的特点,都是直线型图形。
而圆和前五类图形不一样,它是由曲线围成的,属于曲线型图形。由于不能实现密铺,所以可行的方式还是转化,并尝试考虑将它转化为直线型图形。
要转化为直线型图形,显然要对圆进行切割。我们发现经过直径切割,把圆等分成多个小扇形,最后可以拼成近似的长方形、三角形和梯形。
下面我们来初步尝试,把16等分圆转化成直线型图形,,并计算出相应的面积。
当然,在实验前,我们先要思考,如何把圆平均分成16等份呢?能否利用我们身边的物体,先画出一个圆?然后想办法把它等分成16份呢?同学们,不妨让我们动手试一试吧。
相信很多同学,开动小脑筋,想到了怎么等分成16份了吧。好了,让我们开始数学实验吧。
实验活动一:把圆转化成近似的长方形
实验活动二:把圆转化成近似的三角形
实验活动三:把圆转化成近似的梯形
活动解密:
解密1:根据长方形面积计算公式推导圆的面积计算公式。
圆的面积等于转化后的长方形面积,长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽相当于圆的半径。
根据“长方形面积=长×宽”,
那么圆的面积 =½ C × r,化简后等于πr²。
解密2:根据三角形面积计算公式推导圆的面积计算公式。
圆的面积等于转化后的三角形面积,三角形的底相当于圆周长的十六分之四,三角形的高相当于圆的半径×4。
根据“三角形面积=底×高÷2”,
那么圆的面积=¼ C × 4r ÷ 2,化简后等于πr²。
解密3:根据梯形面积计算公式推导圆的面积计算公式。
圆形的面积等于转化后的梯形面积,梯形的上底加下底相当于圆周长的一半,梯形的高相当于圆的半径×2,
根据“梯形面积=(上底+下底)×高÷2”,
那么圆的面积=½ C × 2r ÷ 2,化简后等于πr²。
同学们,通过我们由浅入深的探究,我们推导出圆的面积计算公式。
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