什麼是漸近等分性
隨機變量長序列的一種重要特性,是編碼定理的理論基礎,簡稱AEP。當隨機變量的序列足夠長時,其中一部分序列就顯現出一種典型的性質:這些序列中各個符號的出現頻數非常接近於各自的出現概率,而這些序列的概率則趨近於相等,且它們的和非常接近於1,這些序列就稱為典型序列。其餘的非典型序列的出現概率之和接近於零。序列的長度越長,典型序列的總概率越接近於1,它的各個序列的出現概率越趨於相等。漸近等分性即因此得名。
C.E.仙農最早發現隨機變量長序列的漸近等分性,並在1948年發表的論文《通信的數學理論》中把它表述為一個定理。後來,B.麥克米倫在1953年發表的《信息論的基本定理》一文中嚴格地證明了這一結果,因此,有人也把它稱為麥克米倫定理。
漸近等分性有許多不同的具體形式,但一般地可以表述如下:若X是一個符號表,共有M個不同的符號x1,x2,…,xM ,它們的出現概率分別是p1,p2,…,pM 。對X進行N次獨立的選擇,於是得到一個長度為N的符號序列;總共有MN個長度為N的不同序列。可以證明,對於給定的兩個任意小的數ε>0和δ>0,一定可以找到一個正整數N0(它是X,ε和δ的某種函數),使所有長度為N≥N0的序列可劃分為以下兩組。第一組包含Aε<MN個序列,其中各個序列都具有幾乎相等的出現概率p,且有
1-ε<p·Aε<1
和
式中H是X的符號熵。實際上,當N充分大時,Aε=2NH。第二組包含其餘的MN-Aε個序列,它們的出現概率之和小於ε。顯然第一組包含的是典型序列,第二組包含的是非典型序列。在各個符號的概率不相等的情況下,序列長度N越大,則Aε與MN的差別越大,而p·Aε與1的差別越小,-logp/N與H的差別也越小。
漸近等分性的意義在於:對於任意取有限個值的隨機變量X,當用N次獨立選擇的方法來形成編碼序列時,只要N 取得足夠大,就可以只考慮其中Aε個典型序列,而其餘所有的非典型序列均可以忽略。
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