牛頓萊布尼茨公式

牛頓萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間[a，b]上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[a，b]上的增量。牛頓-萊布尼茲公式，通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。

定理意義：牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。

定理理解：比如路程公式：距離s=速度v乘以時間t，即s=v*t，那麼如果t是從時間a開始計算到時間b為止，t=b-a，而如果v不能在這個時間段內保持均速，那麼上面的這個公式(s=v*t，t=b-a)就不能和諧的得到正確結果，於是引出了定積分的概念。

牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。定積分一般定理：定理1：設f(x)在區間[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上可積。定理2：設f(x)區間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a，b]上可積。定理3：設f(x)在區間[a，b]上單調，則f(x)在[a，b]上可積。



牛頓萊布尼茨公式是什麼？

若函數f(x)在[a,b]上連續，且存在原函數F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，且

b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a)

這即為牛頓—萊布尼茨公式。

牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯繫了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程：

編輯本段對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為：

b∫a*f(x)dx

現在我們把積分區間的上限作為一個變量，這樣我們就定義了一個新的函數：

Φ(x)=

x∫a*f(x)dx

但是這裏x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變量，但定積分中被積函數的自變量取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，我們把被積函數的自變量改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：

Φ(x)=

x∫a*f(t)dt

編輯本段研究這個函數Φ(x）的性質：

1、定義函數Φ(x)=

x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ

與格林公式和高斯公式的聯繫

’(x)=f(x)。

證明：讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函數增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得，

也可自己畫個圖，幾何意義是非常清楚的。)

當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有lim

Δx→0

ΔΦ/Δx=f(x)

可見這也是導數的定義,所以最後得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函數。

證明：我們已證得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（積分區間變為[a,a]，故面積為0），所以F（a）=C

於是有Φ(x）+F（a）=F（x），當x=b時，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。

例子：求由∫（下限為2，上限為y）e^tdt+∫（下限為o，上限為x）costdt=0所確定的隱函數y對x的導數dy/dx

求1,∫（下限為-1，上限為1）(x-1)^3dx

2,

求由∫（下限為0，上限為5）|1-x|dx

3,求由∫（下限為-2，上限為2）x√x^2dx

解答：

e^(y)-e^(2)+sin(x)=0,y=ln(e^(2)-sin(x)),dy/dx=-cos(x)/(e^(2)-sin(x).

1).(x-1)^4/4|(-1,1)=(1-1))^4/4-(-1-1))^4/4=-4

2).∫（下限為0，上限為5）|1-x|dx=-∫（下限為0，上限為1）x-1dx+

∫（下限為1，上限為5）x-1dx=-(x-1)^2/2|(0,1)+(x-1)^2/2|(1,5)=17/2

x√x^2是奇函數，所以∫（下限為-2，上限為2）x√x^2dx=0

牛頓萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。

牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。

牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。    

牛頓-萊布尼茨公式的意義及用法是什麼？

牛頓－萊布尼茨公式的意義：

1、牛頓－萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。

2、牛頓－萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓－萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。

牛頓－萊布尼茨公式的用法：

1、牛頓－萊布尼茨公式在物理學上也有廣泛的應用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做的功以及物體之間的萬有引力。

2、牛頓－萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展，該公式在微分方程，傅里葉變換，概率論，複變函數等數學分支中都有體現。

擴展資料：

1、牛頓－萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間［a，b］上的定積分等於它的任意一個原函數在區間［a，b］上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓－萊布尼茨公式。

2、牛頓－萊布尼茨公式，表明某函數的定積分可以用該函數的任意一個反導函數來計算。這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因為它大大簡化了定積分的計算。

牛頓布萊尼茨公式是什麼 推導過程有哪些

牛頓布萊尼茨公式通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫。那麼，牛頓布萊尼茨公式是什麼呢？下面我整理了一些相關信息，供大家參考！

牛頓布萊尼茨公式

牛頓-萊布尼茲公式,又稱為微積分基本定理,其內容是：

若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且存在原函數F(x),則f(x)在[a,b]上可積,且

從a到b的定積分（積分號下限為a上限為b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)

其意義就在於把不定積分與定積分聯繫了起來,也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法.

牛頓布萊尼茨公式證明過程

證明：設：F(x)在區間(a,b)上可導,將區間n等分,分點依次是x1,x2,…xi…x(n-1),記a=x0,b=xn,每個小區間的長度為Δx=(b-a)/n,

則F(x)在區間[x(i-1),xi]上的變化為F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)

當Δx很小時,

F(x1)-F(x0)=F’(x1)*Δx

F(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx

……

F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx

所以,

F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx

當n→+∞時,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)

牛頓布萊尼茨公式意義

牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。

牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。

牛頓-萊布尼茨公式是積分學理論的主幹，利用牛頓一萊布尼茨公式可以證明定積分換元公式，積分第一中值定理和積分型餘項的泰勒公式。牛頓-萊布尼茨公式還可以推廣到二重積分與曲線積分，從一維推廣到多維。

牛頓布萊尼茲公式

牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibnizformula），通常也被稱為微積分基本定理，揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯繫，牛頓-萊布尼茨公式的內容是：若函數f(x)在[a,b]上連續，且存在原函數F(x)，則f(x)在[a,b]上可積，則這即為牛頓-萊布尼茨公式，牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年，萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式，因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式，牛頓-萊布尼茨公式給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法，大大簡化了定積分的計算過程。