27是质数吗
27是质数吗的答案是:不是
不是质数,27是合数。
合数是大于1的整数中,除了能被1和它本身整除外,还能被除0以外的其他数整除的数,27除了能被1和27整除外,还能被3和9整除,所以,27是合数。
质数只有1和它本身两个约数,很明显27不是质数。
假设只有有限个质数,如n个:2,3,5,……p中,构造一个数M=2·3·5…p+1。M如果是合数,必有一个素数因子q,因为只有有限个素数,所以q必然是2,3,5,……p中一个。但是q必然不同于2,3,5 ……中任意一个,因为q整除于2·3·5….p,q整除于M,所以q必然整除于1,这是不可能的。因此,质数有无穷多个,有无限性。
质数被利用在密码学上,所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。
100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,一共有25个。
质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中的证明使用了证明常用的方法:反证法。具体证明如下:假设质数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,……,pn,设N=p1×p2×……×pn,那么,N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数,则N+1要大于p1,p2,……,pn,所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数,因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积;而N和N+1的最大公约数是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数,都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说,素数有无穷多个。
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