求曲线积分
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∫(e^xsiny+x+y)dx+(e^xcosy)dy现在我们补一条(1,0)到(-1,0)的直线。于是(-1,0)到(1,0)的半圆弧和(1,0)到(-1,0)的直线构成了一个回路。根据格林公式,在这个回路上面的曲线积分,可以化为二重面积分。因为回路不是正向的,所以前面多一个负号。运用格林公式-∫∫(e^xcosy-e^xcosy-1)dxdy=∫∫dxdy(也就是半圆面积)=π/2因为多计算了一条从(1,0)到(-1,0)的直线,所以最后要减去(1,0)到(-1,0)的直线上的积分,也就是加上(-1,0)到(1,0)的直线上的积分。而在这个(-1,0)到(1,0)的直线上面的积分很容易,因为其y一直为常数0,dy为0,x在-1到1。于是∫(e^xsiny+x+y)dx+(e^xcosy)dy=∫xdx=½x²=0所以最终结果就是π/2+0。
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